2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题
选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
-
曲线 $y = \frac{2x^3}{1+x^2}$ 的渐近线方程为 (A) y = 2x (B) y = 2x + 1 (C) y = 3x (D) y = 3x + 1
（图片来源网络，侵删） -
已知当 $x \to 0$ 时，$f(x) = 3\sin x - \sin 3x$ 与 $cx^k$ 是等价无穷小，则 (A) k = 1, c = 4 (B) k = 1, c = -4 (C) k = 3, c = 4 (D) k = 3, c = -4
-
函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微的一个充分条件是 (A) $\lim{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$ (B) $\lim{x\to 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x} = 0$ 且 $\lim{y\to 0} \frac{f(0,y) - f(0,0)}{y} = 0$ (C) $\lim{(x,y)\to(0,0)} [f(x,y) - f(0,0)] = 0$ (D) $\lim{x\to 0} [f(x,0) - f(0,0)] = 0$ 且 $\lim{y\to 0} [f(0,y) - f(0,0)] = 0$
-
设 $I_1 = \iint_D \cos(\sqrt{x^2+y^2}) d\sigma$, $I_2 = \iint_D \cos(x^2+y^2) d\sigma$, $I_3 = \iint_D \cos(x^2+y^2)^2 d\sigma$, $D = {(x,y) | x^2 + y^2 \le 1}$, 则 (A) $I_1 > I_2 > I_3$ (B) $I_3 > I_2 > I_1$ (C) $I_2 > I_1 > I_3$ (D) $I_3 > I_1 > I_2$
-
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，且其导函数的图形如图所示，则 $f(x)$ 有 (A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点 (C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点
（图片来源网络，侵删）(注：此处应有导函数 f'(x) 的图形，通常为一条在x轴上方和下方有多个交点的曲线，根据后续解析，可推断出f'(x)与x轴有三个交点，从左到右符号变化为 +, -, +, -。)
-
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $g(0) = f(0)$, $g'(0) = f'(0)$, $g''(0) = f''(0)$, 若 $F(x) = \frac{1}{2} (g(x) + f(x))$, $G(x) = \int_0^x g(t) dt$, 且 $F(x) \ge G(x)$, 则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内 (A) 单调递增 (B) 单调递减 (C) 是凹函数 (D) 是凸函数
-
设向量组 I: $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 可由向量组 II: $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_s$ 线性表示，则 (A) 当 r < s 时，向量组 II 必线性相关 (B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关 (C) 当 r < s 时，向量组 I 必线性相关 (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关
-
设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 2 & 3 & a \ 0 & a & 1 \end{pmatrix}$, 若 $A$ 的特征值均为正数，则 a 的取值范围是 (A) (0, 2) (B) (2, +∞) (C) (3, +∞) (D) (1, 3)
（图片来源网络，侵删）
填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。
-
$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin t \cos t dt}{x^2} = \underline{\hspace{2cm}}$
-
微分方程 $dy = (x + y^2) dx$ 的通解为 $\underline{\hspace{2cm}}$
-
已知函数 $F(x) = \int_0^x f(t) dt$, $f(x)$ 是连续函数，且 $f(x) = F(x - x^2)$, 则 $f(x) = \underline{\hspace{2cm}}$
-
设 $L$ 是柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 与平面 $z = x + y$ 的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\oint_L xz dx + x dy + \frac{y^2}{2} dz = \underline{\hspace{2cm}}$
-
若二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = x^T A x$ 的秩为 1，且二次型的正惯性指数为 p = 1，则该二次型的规范形为 $\underline{\hspace{2cm}}$
-
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0, 0; 1, 1; 0)$, 则 $P(XY < 0) = \underline{\hspace{2cm}}$
解答题：15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
-
(本题满分 10 分) 已知函数 $F(x - \frac{z}{y}, y - \frac{z}{x}) = 0$ 可确定函数 $z = z(x, y)$, $F$ 具有连续的一阶偏导数，求 $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y}$.
-
(本题满分 10 分) 求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 12x + 16y$ 在区域 $D = {(x,y) | x^2 + y^2 \le 25}$ 上的最大值和最小值。
-
(本题满分 10 分) 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n}$ 的收敛域及和函数。
-
(本题满分 10 分) 证明方程 $4\arctan x - \pi + \ln(1+x^2) = 0$ 恰有两个实根。
-
(本题满分 10 分) 设 $P$ 是曲面 $z = x^2 + y^2$ 上位于第一卦限内的一点，该点处的切平面为 $\Pi$。 $\Pi$ 与三个坐标平面所围成的四面体的体积为 $V$，试确定点 $P$ 的坐标，使 $V$ 最小,并求出此最小值。
-
(本题满分 11 分) 设 $A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \ 0 & \lambda - 1 & 0 \ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} a \ 1 \ 1 \end{pmatrix
